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哪一个更适合中美两国的微积分教学?

    微积分是牛顿(1643-1727)和莱布尼兹(1646-1716)独立发明的,是人类文明史上最伟大的遗产。它诞生于17世纪下半叶,400年前为现代科学的兴起提供了数学语言。伽利略·伽利略(1564-1642)曾经说过:“大自然的伟大著作是用数学符号写的。”因此,“微积分”一直是高校的一门基础课程,也是理工科学生的必修课。然而,中美两国在微积分教学方法上存在许多差异。在本文中,我们讨论如何学习微积分。希望能够启发国内高校数学教师进一步探索微积分教学的理念和方法,从而引导学生更加有效地理解微积分的理念和理论。写作|熊斌,陈国良(华东师范大学数学科学学院),丁九(南密西西比大学数学与自然科学学院),叶宁军(伊曼纽尔学院数学系),中国大学微积分课程,中国“等级文化”的建立在所有地方,一个典型的例子是大学微积分课程。数学系的新生是所有理工科学生的“骄傲”。最难的微积分是他们上学的时候。但是,这门课的名称改成了数学分析。这个名字来源于苏联,因为中国高等教育从20世纪50年代开始模仿苏联,包括课程设计和教科书名称。不是数学系。我们将坐369个往返座位。例如,物理、天文、气象三大系,虽然在校学生也是“天才”,但与数学学生相比,在微积分学习中,他们成为“二等公民”。然而,他们在非数学专业的待遇仍然优于其他专业。他们教一门“高等数学”,这比较难。这门课的名字有点误导人,似乎教所有的高等数学。这怎么可能?事实上,从这门课中学到的“高等数学”只是高等数学的一部分,相当于从大水箱里舀出一杯水。其他几个科学部门,如生物、化学、地质和地理,都是“三等公民”。所使用的微积分教材是“高等数学”,如“B”。这一难度大致相当于上世纪中国分布最广的微积分教材《高等数学》(1900-1967)范英川先生所写的《高等数学》。20世纪80年代初,文革前被南京大学化学系录取的文远凯应邀在母校礼堂发表演讲。他说:“化学系学习数学时需要学习什么数学?”这描绘了除了数学专业以外的学生对高等数学的一般态度。在我们大学期间,哲学系可能是唯一一个主修微积分的文科系,也是高等数学的第三课。在牛顿的时代,科学被昵称为自然哲学。牛顿的划时代的书名为《自然哲学中的数学原理》。由于这段历史,几个世纪以来欧洲大部分的博士学位都被称为哲学博士。因此,自然科学与哲学密切相关。其他文科学生可能没有哲学系那么幸运。中文、历史、外语等专业的学生上大学时可能对数学理论说再见了,更不用说微积分了。当然,经济系是不同的。数学经济学的数学公式或计量经济学中充满了统计术语,微积分无法逃避。然而,我们不知道他们正在学习什么样的高等数学,这可能与学校和部门的要求有关。至于工程,微积分当然是大一的必修课。微积分教材的难度与B类高等数学教材的难度大致相同。大多数工程系的高等数学不比物理难。一般认为,工科学生不需要那么多的数学理论,应该把更多的时间花在工程专业知识的学习上。这种做法也起源于苏联的专业人才集中培养模式。美国大学教授微积分。微积分教学分为初级阶段和高级阶段。小学阶段学习基础微积分,高级阶段学习高等微积分。事实上,即使在中国,也有许多例子表明一个学科分为两个阶段:初级阶段和高级阶段。例如,我们在中学学习物理和化学,即基础物理和基础化学。在大学里,我们学习普通物理和普通化学,处理与中学相同的基本对象,但是使用数学工具,从代数、几何、三角形到微积分表示的高等数学。美国大学生在微积分学习初期,无论什么专业,只要是理工科的必修课或是其他系的选修课,所用教材的英文名称都是一个词:微积分,汉译应使用两个词:初等微积分。就连数学系的学生也只能以初等微积分为先修课,而不能以《高等微积分》为先修课。从基础微积分出发,是美国微积分教学的基本特征。当然,在美国,初等微积分不是一种统一的教学方法。例如,普通大学商学院的基础微积分教材往往不同,常常被命名为商业微积分。它的内容甚至可能比普通的基本微积分更浅,而且这本书更薄。一般只讨论函数导数和定积分的基本方法。然而,其中的一个特点是注重应用,提供许多与商业实践相关的章节和练习,以便学生能够接触到微积分应用的具体实例。在美国,商学院是高中毕业生进入大学的热门选择。然而,一般来说,具有完整学科的大型公立大学学生的态度和知识水平普遍低于具有小班级的小型私立大学或学院。对于这些商学院的学生来说,对初等微积分的要求通常会降低。即便如此,学生不及格的比例有时也会令人恐惧。当然,哈佛这样的商学院的本科生可以去数学系攻读研究生课程。这就是美国“因材施教”的法律。对大多数学生来说,这是“放羊教育”,让自然走自己的路。为有天赋的学生提供最好的教育机会和课程,使他们能够快速成长。其他特殊基础微积分包括生命科学微积分和应用技术学生应用技术微积分。这些教材具有相关专业的应用特点。一般来说,它们很少有数学理论和应用实例。甚至在初等微积分中,不同的教授也会教授不同层次的学生和教育概念。作者所在的一所私立人文学院的数学教授非常重视学生是否真正理解一些概念,比如由导数揭示的“瞬时变化率”,而不是简单地教授死板的方法。其中一个学生在教授的课上得了B,很不满意,因为该学生在高中时选了AP微积分课程的A,并且一直是班上最好的数学家。而A老师不及格的学生在替换B老师之后实际上可以得到A。这也是美国校园里常见的现象。那么什么是初等微积分?这是没有学习“极限理论”或“e-delta语言”的微积分。或者更简单地说,它是牛顿和莱布尼兹发明的微积分。它的内容相当于中国的高等数学。它的难度介于A班和B班之间,但是它包含的例子和练习比国内教材多得多。因为强调应用是美国数学教科书的一个特点。微积分包含微积分思想和计算方法,但不强调微积分理论基础,即基于实数的完备性逻辑推导的极限理论。在美国,基础微积分课程一般需要三到四个学期。四学期教学大纲中典型的内容分配是:第一学期是微分部分,第二学期是定积分,第三学期是级数,第四学期是多元微积分。这是整个学校的公共数学课程。任何专业的学生,无论是必修的、一年级的还是四年级的,都可以注册这门课。一些没有学过微积分的研究生只要他们愿意或被系要求就可以报名参加课程。因为每个大学生都能学基础微积分,所以一些兴趣广泛、没有时间思考未来方向的文科学生也学过微积分。他们中的一些人甚至爱上了它,并改变了生活的进程。最有说服力的例子之一是爱德华·威登(Edward Witten,1951-)。他的本科专业是历史,辅修语言学。一天,他注册了初等微积分。也许他从这门课中发现了数学的美,然后改学了物理,最后获得了物理学博士学位。他为现代纯数学作出了巨大贡献,甚至获得了数学最高奖——菲尔兹奖。初等微积分完成后,数学系的学生基本学习了初等线性代数和初等微分方程。此时,他们对微积分等高等数学学科的概念有了清晰的认识。高等微积分自然就摆在他们面前。对大多数学院和大学来说,这是数学系大三或大四的必修课。但是也有很多大学数学系的研究生开始把高等微积分作为必修课。正是由于对高年级学生和研究生的高等微积分的要求,许多学校的数学系简单地将这门两学期的课程标为本科和研究生课程。例如,在南密西西比大学,高等微积分的两个学期的课程编号是441/541和442/542,其中441和442是大学课程,而541和542是研究生课程。因此,经常可以看到本科生和研究生,包括博士生,一起上课。高等微积分不是非数学专业的必修课程。然而,选修课总是可能的。此外,一些有远大抱负的理工科学生从不局限于那些与他们的专业相关的专业知识。其中一些幸运的人意外地发现了他们的天才和真正的爱好,通过高等微积分,并跳到了数学系。最好的例子是诺伯特·维纳(1894-1964),诺曼·列文森(1912-1975),控制论的骄傲的学生。这位数学天才在麻省理工学院电子工程系开始他的本科学习。是维纳找到他,并指导他完成数学系的所有课程。后来,他被送到剑桥大学,在那里他一年写两篇数学论文,回到他的母校,并立即获得数学博士学位。后来,在麻省理工学院数学系的成长时期,他成为了数学系的灵魂,并在当时的黎曼猜想上做了最好的工作。哪种教学方法比较好?李天燕,密歇根州立大学数学系的杰出教授,在台湾流行杂志《数学传播》上发表了一篇文章“回顾过去”,回顾了他在台湾新竹清华大学的本科生活。这是台湾「数学教学法」的讣告。出乎意料,我一上大学,就几乎被微积分中难以解释的E-delta语言逼疯了。他说,在那个时候,室友们被ε-δ的抽象概念弄得睡不着,甚至一些同学也因为微积分太难而起草了自杀书。当然,上面引用的“初等微积分”要比今天的初等微积分难得多,至少要嵌入ε-δ的内容。这相当于中国大陆的数学分析。在李天燕的学年里,台湾的数学教授“似乎认为教材越深,学生自然就会变得越‘高年级’!”教学也是如此。李天燕教授回忆道:“看那个!在我高中二年级的时候,高等微积分使用Apostol的数学分析;高等几何使用Halmos的有限维向量空间;高等代数使用N.Jacobson的抽象代数讲座;微分方程使用Coddington的常微分方程指南。大三的时候,我用范德华登的现代代数来读现代代数;大三的时候,我用阿尔福斯的复杂分析来读复杂函数。此外,大三还学习了拓扑学和数论;大四还学习了泛函分析、李群、实变函数理论(使用Royden的实分析)、微分几何(使用Hicks的微分几何讲座)。因此,“不仅选修了所有这些课程,而且都取得了不错的成绩(第四年所有的课程都在90分以上)。”詹姆士·约克(1941-)教授,他后来的博士论文导师,对他的高级课程和优秀的成绩感到震惊。我以为我是杀戮之路的主人,而且我技术高超。”然而,李天燕教授回忆说,“那个档案里的记录真的很误导人。”他进一步解释说,“抽象数学的起点主要是从为实际问题建立的数学模型出发,然后从理论上建立解决问题的方法,然后进行抽象,希望能够涵盖更一般的同类问题。”因此,在学习更深层次的抽象数学理论之前,我们应该对最原始的起点和工具有一些基本的了解。他认为,如果我们从一些无法解释的抽象定义出发,推导出一些无法解释的抽象定理,学生根本不知道自己在做什么,但是为了通过考试,他们必须遵循后面的定义、后面的定理和后面的逻辑。李天燕教授的感受应该得到许多数学学生的响应。以南京大学数学系七年级和七年级的计算数学课程为例。那一年,南京大学数学系和天文学系的录取分数在南京大学各系中名列第一。应该说,计算数学七年级和七年级新生的智商和水平相当高。然而,“数学分析”的第一学期让一些学生灰心丧气。他们无法逃避考试不及格的悲惨命运,即使他们在晚上把宿舍的灯关掉之后偷偷溜进臭气熏天的厕所,或者下楼去借校园路灯里的灯,或者用鬼灯把火炬放在床上。为什么会这样?《数学分析》的一步教学法强调的是微积分理论的逻辑推理,而不是微积分思想的直观原理。后者是牛顿和莱布尼茨眼中的微积分运算,而前者则是在他们死后两百年中慢慢形成的一套理论。在微积分的初始阶段,实数的“完备性”仍然模糊不清,甚至微积分所处理的对象函数的最基本概念也是个谜。欲速则不达。只有初等数学的学生,他们必须超过牛顿和莱布尼兹两百年,才能赶上奥古斯丁-路易斯-考奇(1789-1857)和卡尔-威尔斯特拉斯(1815-1897),花很多年精心设计极限语言,并努力理解朱利叶斯·德金德(1831-1916)或乔治·坎特成功的实数结构。(1845-1918)。过程。这种培训,对于当今高校的大众教育来说,基本上是先于灌输的。它不符合科学发现的艺术和数学文化。数学的发展始终遵循着数学文化的关键之一:数学定理的诞生往往始于直觉,始于逻辑。牛顿和莱布尼兹的微积分就是最好的例子。当微积分思想越来越成熟时,逻辑推理的魔力就充满了风,导致实数理论和极限理论的出现,成为微积分学的基础。如果我们在充分理解微积分的思想和基本方法之前,被动地接受微积分的逻辑基础,其结果将如扬州大学数学科学学院的董启祥老师所观察到的:“在第一年级,大多数学生不能学习数学分析,导致缺乏自信。未来的研究。著名数学家和数学教育家龚胜教授(1930-2011)在1900年国际数学家大会上首次引用了戴维·希尔伯特(1862-1943)在他的《中学数学评论》一书中的微积分五堂课中的一句话:“数学的每个真正步骤都与发现更强大的工具和更简单的方法。同时,这些工具和方法将有助于理解现有的理论,抛开古老而复杂的东西。数学科学发展的这个特点是根深蒂固的。他接着指出:“回顾从小学习数学的过程,我们正在重复数学发展的过程。虽然一些数学已经被用更强大的工具和更简单的方法产生的新数学所代替,但是在人们终生学习数学的过程中,我们不仅可以学习“高级”而且根本不能“低”,完全可以省略学习“低”的过程。这是因为随着人们年龄的不断增长,学习与他的年龄和智力发展相等的数学是最好的选择。学习数学是一个渐进的过程。没有“低水平”数学的基础,很难理解和学习“高水平”数学。这是因为“学习高年级数学理论必须绝对从理解低年级数学出发。”密歇根州立大学的数学系“绝对禁止学生在一年级和二年级的初等微积分课程中灌输E-delta的这些抽象概念。”进入高年级甚至研究生阶段,他们会熟悉高等微积分,冷静地进入数学分析的新世界。如果我们仔细阅读微积分教材,就会发现微积分的概念在初等微积分中无处不在,而微积分的逻辑推理在高等微积分中无处不在。对于初学者来说,学习先思考远比推导定理重要。在学习了基于直觉的基本微积分之后,基于逻辑的高级微积分就不那么令人畏惧了。这样做的好处是,数学系的学生先于逻辑思考,推理让位于直觉,并逐渐变得严格。对于其他系的学生来说,好处如下:第一步是在雪中放炭,第二步是在蛋糕上放花,并理解数学的美和深度。结论微积分是大学生最重要的数学课程。由于数学发现的过程是直观的,导致抽象,所以在教学实践中,微积分的传播比逻辑推理更重要。在理解高年级数学之前,应遵循熟悉低年级数学的原则,在高等数学系和公共课程的设置中,初等微积分应是高年级微积分的前奏。因此,我们有以下建议。大一新生,不管专业如何,都先学微积分。如果学生已经在高中学过初等微积分,并且取得了好的成绩,他们可以继续学或者直接进入高等微积分。初等微积分完成后,数学系的学生应该学习高级微积分。其他系的学生可以学习高级微积分。最后,微积分应该成为学校所有专业的必修或选修课程。1976年4月30日,虚弱的毛泽东写信给刚刚担任国务院总理的华国锋:“别着急,别着急。”这句话可以用来结束本文——中国大学数学系微积分课程的教学。它也应该是“慢慢来,别担心”:先学初等微积分,然后再学高级微积分。更多信息:http://www.zhishifenzi.com本页出版物内容未经书面许可不得转载和使用公共号码、报纸和其他转载。请联系授权版权@zhishifenzi.com进行业务合作,请联系business@zhishifenzi.com。